听证会上的难题
几周前，在英国国防部对核武器专家凯利就“情报门”事件的听证会上，一名议员向凯利提出这样的问题：“根据你的说法，你是不是这个事件的替罪羊呢？”对这个问题，凯利无论如何回答都不能摆脱矛盾：如果他说是，就与他自己的申辩相矛盾，因为他曾辩解说自己不是；如果他说不是，又与他所知道的事实相矛盾，因为事实表明他显然是。凯利面对这个语言陷阱，给出了一个圆滑的外交辞令：“我不知道。”没过几天，凯利神秘自杀。凯利的回答从表面上看回避了上述问题，但他实际上并没有解决这个矛盾：对议员的这个问题给出肯定或否定的回答都会产生悖论。那么什么是“悖论”呢？悖论就是由于语言表达层次出现的混淆而导致的自相矛盾。典型的语言悖论是“说谎者悖论”。
传说中的一个克里特岛人说过：“克里特岛人说的话都是谎话。”如果问他这句话是是假，我们就会陷入自相矛盾中：如果说他的话是的，由于他也是克里特岛人，所以根据他的话，他的话就应当是假的；如果说他的话是假的，“克里特岛人说的话都是谎话”这句话就是的。不仅日常语言表达中存在这样的悖论，就连被看作科学之皇后的数学和逻辑中也有这样的悖论，如康托尔（19世纪德国数学家、集合论的创立者）的“集合论悖论”和罗素的“类型论悖论”。
话里话外的区分
西方人对这种悖论的研究已经有两千年的历史。由于这样的悖论使用了“全称命题”的说法，所以在哲学上也带来了一系列后果，其中最重要的是涉及到“自我指称”的问题。就是说，当我们对涉及到自我的内容做出否定判断时，我们就会遇到悖论。例如，当我们说“一切知识都是不可靠的”，我们就陷入了一个悖论：如果我们同意这个说法，我们就至少有了一个可靠的知识，所以我们实际上就是不同意这个说法；如果我们不同意这个说法，我们就是在承认这个说法是的。黑格尔曾对这种悖论提出了一种“辨证的”解决办法，就是承认人类思维本身存在着矛盾，但他并没有正从语言表达上解决这个悖论。
直到20世纪初，对这种悖论的解决才有了突破性的进展，现代逻辑的诞生使人们有了比传统逻辑更为严格精确的工具，去分析那些造成话语矛盾和思想混乱的各种语言悖论。其中的一个重要成果，是用形式语言严格区分对日常语言的两种使用方式，即用作对象语言和用作元语言，前者可以叫做“话外”，就是使用语言对语言之外的东西有所言说，后者则是“话里”，就是对语言本身提出问题。例如，说谎者悖论就可以用这样的方法来澄清：那个克里特岛人说的话应当被看作是对象语言（话外），而对他的话提出问题，则属于元语言的用法（话里）。做出了这种区分后，我们就不会对他的话本身提出相同的问题，换句话说，对他提出这样的问题是毫无意义的，或者说不可能带来任何有认识价值的结果。
矛盾随处可见
当然，我们在日常使用语言时并不会随时注意我们的话是否带来了悖论；相反，有时我们还会有意无意地利用产生这种悖论的可能性，使我们的交谈更有戏剧性的冲突，希望由此可能碰撞出“思想的火花”，这特别出现在文学作品中。比如，鲁迅小说对20世纪30年代中国底层人物“双重性格”的描写，就大量使用了这样的手法。这就是鲁迅所说的“求己图”。
日常语言交流目的是为了达到相互理解，就是说要能够“听懂”对方的话。但这看似平常简单的事情却由于日常语言的歧义和模糊，往往会带来对话双方都意想不到的后果。朋友之间的误解可以随时间消失，但对重要信息的误读，却可能带来难以估量的损失。在现代逻辑和数学发展成就的鼓舞下，哲学家们运用逻辑分析的方法试图建造一种可以克服日常语言缺陷的理想语言，人们用这种语言表达思想，就会像用数学和逻辑语言那样精确和严格。这个理想激励当代哲学家们花了一个世纪的时间，用逻辑方法去分析自然科学和哲学中的一个个命题，努力澄清它们的意义。这些工作的成果是显著的，影响是深远的。但悖论并没有因此而消失，矛盾还是随处可见。因为我们随时使用的日常语言并没有改变，它的缺陷并没有由于理想语言的出现而被克服。但日常语言的模糊性反而显示了我们使用这种语言的魅力，比如，我们对爱情的言语表达就无法用形式语言给予精确的描述，同样，我们的感性知觉也难以用逻辑的语言表达。
语言的玄妙意味着思想的玄奥
传说罗素在与摩尔聊天时曾问摩尔：“你是从来不说谎的吧？”摩尔答道：“不！”罗素又说：“除了这个‘不’字，你是从来不说谎的。”在这里，罗素就落入了悖论的圈套：如果把摩尔的回答看作谎话，它就同时又是话，就是说，摩尔并不总是说话。可见，即使是解决悖论大师的罗素，在日常语言中也没有完全摆脱悖论。
其实，话里话外的玄机并不全是语言的过错。我们用语言无疑是为了表达思想和情感。虽然心中所想和口中所言有时并不一致，但说出来的东西一定是心中想过的，否则就是信口雌黄了。思想也不是赤裸裸地出现的，它一定要借助某种方式。人们以往认为一个思想只能用一种方式表达，现在则可以有多种方式表达一个思想，就是说，我们可以给思想变换多套“外衣”。每套外衣可能代表的是思想的不同方面，而思想的玄奥正是用各种不同的语言形式表达出来。我们的语言中有悖论，就说明我们的思维过程中有矛盾，说明我们的思想不是简单的、线形的。逻辑上存在矛盾就要想办法去克服，但思维中存在矛盾却是无法避免的，因为这恰好是思维的本性所在。
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| 《手中的反射球》 |
(1)1919年，罗素把他提出的集合论悖论通俗化如下的理发师悖论：
萨魏尔村有一位理发师，他给自己订下一条规则：他只给村子里自己不给自己刮胡子的人刮胡子。
请问他该不该给自己刮胡子？
（2）梵学者的预言：印度预言家的女儿，在纸上写了一件事（一句话），让他父亲预言这件事在下午三点钟以前是否发生，并一个卡片上写“是”或“不”。
此梵学者，在卡片上写了一个“是”字。
他女儿在纸上写的一句话是：“在下午三点钟之前，你将写一个‘不’字在卡片上。”
梵学者发现，他被女儿捉弄了，无论他写“是”或“不”都是错的，他根本不可能预言对
（3）意料之外的考试：他出现于20世纪40年代初。一位教授宣布：下周的某一天要进行一次“意料之外的考试”，并称没有一个学生能在考试的那天之前预测出考试的日期。
一个学生“证明”，考试不会一周最后一天进行，如若不然，则倒数第二天就可以推测出来了。以次类推，考试不可能在任何一天进行。
其错误是第一步，并不能推断出“考试不在最后一天进行”，他要这么推论，那么最后一天考试仍然是“意料之外的考试”。
(4) 理发师悖论
在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”
(5)书目悖论
一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？
(6)苏格拉底悖论
苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。”
(7)纸牌悖论
纸牌悖论就是纸牌的一面写着：“纸牌反面的句子是对的。”而另一面却写着：“纸牌反面的句子是错的。”这是由英国数学家Ｊｏｕｒｄａｉｎ提出来的。我们同样推不出结果来。它最简单的形式是：
(8)“如果说上帝是万能的，他能否创造一块他举不起来的大石头？”
(9)一条鳄鱼抢走了一个小孩，它对孩子的母亲说：“我会不会吃掉你的小孩？答对了，孩子还给你；答错了，我就吃了他。”
(10)老子的：“知者不言，言者不知。”是一条悖论，被白居易一语道穿。白居易在《读老子》里说道：“言者不知知者默，此语吾闻于老君。若道老君是知者，缘何自着五千文？”
(11)“第二十二条军规”
这是一条臭名昭著的军规。它规定神经失常的飞行员可以停飞，但同时又规定申请停飞者必须头脑清醒。试想，一个神经失常的人不能申请，必须飞行；而头脑清醒者又怎么能证明他是神经失常？这纯粹是一条欺骗性的悖论。 (1)蠕虫爬橡皮绳：一条蠕虫从1km长的橡皮绳一端以1cm/s的匀速向另一端爬行，而橡皮绳却每秒（匀速）伸长1km，如此下去，蠕虫会不会爬到橡皮绳的另一端点？多数人凭直觉会认为蠕虫不会爬到终点，而这种直觉是错误的。因为橡皮绳是匀速伸长的，蠕虫也随之向前了，第一秒末爬了橡皮绳全长的1/100000 ，在第二秒末爬 1/200000，……类推得
1/100000(1+1/2+1/3+...+1/n+...)
当n充分大时，发散的调和级数的部分和可以等于（或超过）100000，而此时蠕虫就爬到了终点。
其值近似等于，这个时间比现在已知的宇宙年龄还要长，橡皮绳的长比已知的宇宙半径还要长。
(2)广义的芝诺悖论：
一盏灯，开一分钟，关半分钟，在开1/4分钟 ……如此下去，问最后灯是开着，还是关着。
哲学家马克斯.布莱克用另一种形式叙述：一个球在A盘中停一分钟，转到B中停 1/2 分钟，在传回A盘中停1/4 分钟，如此下去，最后球在哪一个盘中。此为抛球悖论。
(3)集合论悖论
“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。”
人们同样会问：“Ｒ包含不包含Ｒ自身？”如果不包含，由Ｒ的定义，Ｒ应属于Ｒ。如果Ｒ包含自身的话，Ｒ又不属于Ｒ。
(4)“罗素是教皇”
从单纯的逻辑上来讲，荒谬的假设可以推论出任何荒谬的结论，哪怕推理过程无懈可击。有人曾经让罗素证明从“２＋２＝５”推出“罗素是教皇”。罗素证明如下：由于２＋２＝５，等式的两边同时减去２，得出２＝３；两边同时再减去１，得出１＝２；两边移位，得出２＝１。
教皇与罗素是两个人，既然２＝１，教皇和罗素就是１个人，所以“罗素就是教皇”。
这个荒谬的结论，就是由一个荒谬的假设引发出来的。
(5)一元钱到哪里去了？
三个学生住旅馆，服务员收费３０元。因此一个学生拿出了１０元。但是后来经理说今天特价，一共只收２５元。服务生退还了学生３元并拿了２元的小费。结果每个学生只出了９元，一共２７元，加上服务员的２元，才２９元（３×９＋２＝２９），那剩下的１元到哪里去了？
也有人把故事改编成这种形式：约翰推销他的旧电视３０元给三位妇女，结果每个妇女拿出１０元来。约翰发现他的电视只值２５元，于是他拿出２元钱作运输费，将其他３元钱退还给那三位妇女一人１元。结果仍然是３×９＋２＝２９，有１元钱不知去向。
这问题很容易蒙住粗心的人，但仔细一点就可看出名堂来。每个学生实际出了９元，一共２７元，其中２５元是住宿费，剩下２元被服务员拿走，应该做减法３×９－２＝２５。如果要做加法，则应该加上退还的３元，３×９＋３＝３０，不正是起初服务员收的３０元吗？因此根本不存在“一元钱到哪里去了”的问题。
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
本文将根据悖论形成的原因，粗略地把它归纳为六种类型，分上、中、下三个部份。这是第一部份：由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论
（一）由自指引发的悖论
以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题入手，就会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。
１－１ 谎言者悖论
公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Ｅｐｉｍｅｎｉｄｅｓ）：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。
《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒’”（《提多书》第一章）。可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。
人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是：
１－２ “我在说谎”
如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版：
１－３ “这句话是错的”
这类悖论的一个标准形式是：如果事件Ａ发生，则推导出非Ａ，非Ａ发生则推导出Ａ，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的表达。
哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。在１９０３年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”
他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么都是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” （同上）
罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“１９０３年和１９０４年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。”（同上）
《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。
接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以为的什么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，问题并不这么简单。
１－４ 理发师悖论
在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。
这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。 反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。
因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。
１－５ 集合论悖论
“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。”
人们同样会问：“Ｒ包含不包含Ｒ自身？”如果不包含，由Ｒ的定义，Ｒ应属于Ｒ。如果Ｒ包含自身的话，Ｒ又不属于Ｒ。
继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，１９３１年歌德尔（Kurt Godel ，１９０６－１９７８，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。
１－６ 书目悖论
一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？
这个悖论与理发师悖论基本一致。
１－７ 苏格拉底悖论
有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（Ｓｏｃｒａｔｅｓ，公元前４７０－前３９９）是古希腊的大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立“定义”以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。
苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。”
这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代中国也有一个类似的例子：
１－７ “言尽悖”
这是《庄子·齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道：如果“言尽悖”，庄子的这个言难道就不悖吗？我们常说：
１－７ “世界上没有绝对的真理”
我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。
１－８ “荒谬的真实”
有字典给悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。悖论（ｐａｒａｄｏｘ）来自希腊语“para＋dokein”，意思是“多想一想”。
这些例子都说明，在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。有没有进一步的解决办法？在下面一节的最后一部份还将继续探讨。
（二）引进无限带来的悖论
《墨子·经说下》中有一句话：“南方有穷，则可尽；无穷，则不可尽。”如果在有限中引进无限，就可能引起悖论。
２－１ 阿基里斯悖论
稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea），曾经提出过一些著名的悖论，对以后数学、物理概念产生了重要影响，阿基里斯悖论是其中的一个。
阿基里斯（Ａｃｈｉｌｌｅｓ）是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲：阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。
方励之先生曾经用物理语言描述过这个问题：在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量。一般度量方法是：假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为Ｓ，速度分别为Ｖ１和Ｖ２。当时间Ｔ＝Ｓ／（Ｖ１－Ｖ２）时，阿基里斯就赶上了乌龟。
但是芝诺的测量方法不同：阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点，这个时间为Ｔ＇。对于任何Ｔ＇，可能无限缩短，但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键是这个Ｔ＇无法度量Ｔ＝Ｓ／（Ｖ１－Ｖ２）以后的时间。
２－２ 二分法悖论
这也是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达Ｄ，它必须首先到达距离Ｄ的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此，这个物体永远也到达不了Ｄ。
这些结论在实践中不存在，但是在逻辑上无可挑剔。
芝诺甚至认为：“不可能有从一地到另一地的运动，因为如果有这样的运动，就会有‘完善的无限’，而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在Ｔ时追上了乌龟，那么，“这是一种不合逻辑的现象，因而决不是真理，而仅仅是一种欺骗”。这就是说感官是不可靠的，没有逻辑可靠。
他认为：“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论，芝诺还提出了一个类似的运动佯谬：
２－３ “飞矢不动”
在芝诺看来，由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置，它在这个位置上和不动没有什么区别。那么，无限个静止位置的总和就等于运动了吗？或者无限重复的静止就是运动？中国古代也有类似的说法，如：
２－４ “飞鸟之景，未尝动也”
这是中国名家惠施的命题，与“飞矢不动”同工异曲。这就是不可抗拒的推理和不可回避的实事相冲突。
德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》，称芝诺的悖论为“否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完全合乎事实，但为什么“不合逻辑”？因为芝诺运用了“无限”这个概念，这是一种逻辑上的假设，而现实世界里是不可能有无限者存在的，这就出现了假设与现实的矛盾。
尼采说道：在这两个悖论里，“无限”被利用来作为化解现实的硝酸。如果无限是决不可能成为完善的，静止决不可能变为运动，那么，真相是箭完全没有飞动，它完全没有移位，没有脱离静止状态，时间并没有流逝。
换句话讲，在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中，既没有时间、空间，也没有运动。最后，连箭本身也是一个虚象，因为它来自多样性，来自由感官唤起的非一的幻象。下面是尼采的分析：
假定箭拥有一种存在，那么，它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定的、永恒的。这是一个荒谬的观念！
假定运动是真正的实在，那么，就不存在静止。因而，箭没有位置、没有空间。又是一个荒谬的观点！
假定时间是实在的，那么，它就不可能被无限地分割。箭飞行所需要的时间必定由一个有限数目的瞬间组成，其中每个瞬间都必定是一个原子。仍然是一个荒谬的观念！
尼采得出这样的结论：我们的一切观念，只要其经验所与的、汲自这个直观世界的内容被当作“永恒真理”，就会陷入矛盾。如果有绝对运动，就不会有空间；如果有绝对空间，就不会有运动；如果有绝对存在，就不会有多样性；如果有绝对的多样性，就不会有统一性。
事实上，这两个悖论中提到的这个“动与不动”的对立统一，今天都已经得到了完美的解决，这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时，初创微积分，但由于没有巩固的理论基础，出现了历史上的“第二次数学危机”。十九世纪初，法国科学家以柯西为首建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为微积分的坚定基础，运动问题也得到了合理的解释。
可以想见，在微积分和极限理论发明或被接受以前，人们很难解释这一运动佯谬。感官不同于思维，当希腊人用概念来判决现实的时候，如果逻辑与现实发生矛盾，芝诺指责感官为“欺骗”。当思维找不到合理解释的时候，直观的形式、象征或比喻都无济于事。尼采的分析虽然详细、精辟，但他无法把它们综合起来。
２－５ “一尺之捶，日取其半，万世不竭”
这是《庄子·天下》中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无限的概念。
战国名家宋国人惠施（约公元前３７０－前３１０）曾任梁国的宰相，论辩奇才，是庄子的朋友，和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚，只能从其他诸家的论述中看到他的言行片段。
惠施的学说强调万物的共相，因而事物之间的差异只是一种相对的概念，现存与惠施有关的奇怪命题，例如，“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“犬可以为牛”、“火不热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝有母”等，都可以说是悖论，但是大部份没有留下具体的争辩过程。惠施的悖论在西方也很有影响。
mzd从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点。一九***年八月十八日，他同哲学工作者谈话时说：“列宁讲过，凡事可分。举原子为例，不但原子可分，电子也可分。”又说：“电子本身到现在还没有分裂，总有一天能分裂的。‘一尺之捶，日取其半，万世不竭’，这是个真理。不信，就试试看。如果有竭就没有科学了。”
有人注意到，mzd十分偏爱这句话，如五十年代中期对家钱三强，一九***年八月同周培源、于光远，一九七三年、一九七四年接见杨振宁、李政道，等等，都提到这句话。
２－６ “１厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多”
多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍。二十三岁获博士学位的德国数学家康托尔（１８４５－１９１８）六年以后向无穷宣战。他成功地证明了：一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。由于无限，１厘米长的线段内的点，与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”。
然而，康托尔的“无穷集合”与传统的数学观念发生冲突，遭到谩骂。直到一八九七年第一次国际数学家会议，他的成果才得到承认，几乎全部数学都以集合论为基础。罗素称赞他的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”
同时，集合论中也出现了一些自相矛盾的现象，尤其是罗素的理发师悖论，以极为简明的形式震撼了数学的基础，这就是“第三次数学危机”。此后，数学家们进行了不懈地探讨。
例如，一九九六年英国剑桥大学出版社出版了亨迪卡的《数学原理的重新考察》，这本书以罗素的《数学原理》（１９０３）为蓝本的，试图完善逻辑和数学基础。它主要阐述了亨迪卡和桑朵新创的ＩＦ（Independence-Friendly First-Order Logic）逻辑及其可能产生的影响。它挑战了许多公认的观念，如公理集合论作为数学理论的适当框架，对说谎者悖论也作了进一步的探讨。它是否将引起一场逻辑和数学基础的革命？我们还将拭目以待。
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发表于：2019/12/23 8:56:00 [只看该作者]
